Derivación Implícita

                                                                             

 La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: 

x y = 1.

Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente:

 . 

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. 

El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. 

Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. 

Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   

donde , representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x, y , representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.