calculo vectorial: 2014

miércoles, 4 de junio de 2014

Integrales Iteradas

Se llaman integrales iteradas a la realización sucesiva de por lo menos 2 procesos de integración simple considerando las diferenciales dx y dy.

Es importante tomar en cuenta en que posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en que orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa.

FORMAS EN QUE PUEDEN PRESENTARSE LAS INTEGRALES ITERADAS

Área por Doble Integración

La aplicación más simple de las integrales dobles es para hallar el área de una región del plano xy. Esta área esta dada por una cualquiera de las integrales

Los límites de integración apropiados. Ya hemos visto como se hace esto en la figura 1, cuando se efectúan las integraciones primero respecto a y, y después respecto a x; es decir

Esta última integral podía haberse escrito de primera intención, puesto que expresa el área como límite de la suma de fajas horizontales.

Integrales dobles como volúmenes

Cuando f(x ,y) es positiva podemos interpretar la integral doble de f sobre una región rectangular R como el volumen del prisma sólido limitado abajo por R y arriba por la superficie z = F(x, y). Cada termino f (xk, yk)

"Ak en la suma Sn = Monografias.com

"Ak es el volumen de un prisma rectangular vertical que aproxima el volumen de la porción del sólido que está directamente arriba de la base "Ak. La suma Sn aproxima entonces a lo que llamamos volumen total del sólido. Definido este volumen como

Coordenadas Polares

En un espacio R2, un dominio de integración que tenga una simetría circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomará su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformación:

Por ejemplo:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.

El determinante jacobiano de la transformación es:

Definición Integral triple

Es la aplicación sucesiva de tres procesos de integración definida simple a una función de tres variables f (x, y, z); tomando en consideración en función de que variable se encuentran los límites para saber cual diferencial (dx, dy, dz) se utilizará primero y cual después y cual al final.

Ejemplo.

Integrales Triples en Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

Coordenadas cilíndricas.

Las coordenadas cilíndricas son apropiadas para describir cilindros cuyos ejes coinciden con el eje x y planos que contienen el eje z o bien son perpendiculares a el.

r = 4 Cilindro, radio 4, eje el eje z

Plano que contiene al eje z

z= 2 Plano perpendicular al eje z

El elemento de volumen para subdividir una región en el espacio con coordenadas cilíndricas es

Las integrales triples en coordenadas cilíndricas son entonces evaluadas como integrales iteradas, como el siguiente ejemplo.

EJEMPLO.

Solución

Paso 1: La base de D también es la proyección de la región R sobre el plano xy. La frontera de R es el

círculo

Su ecuación en coordenadas polares es

Paso 2: Los límites z de integración. Una recta M, que pasa por un punto típico (r, ) en R, paralela al eje z, entra a D en z=0 y sale en

Paso 3: Los límites r de integración. Un rayo L que pasa por (r, ) desde el origen, entra a R en r =0 y sale.

Paso 4: Los límites de integración. Al barrer L a través de R, el ángulo que forma con el eje x positivo varía de La integrales.

Coordenadas esféricas.

Las coordenadas esféricas son apropiadas para describir con centro en el origen, medios planos articulados a lo largo de eje z y conos simples, cuyos vértices se encuentran en el origen, y con ejes a lo largo del eje z.

Las superficies como ésas tienen ecuaciones de valor coordenado constante:

EJEMPLO.

El volumen es

Máximo absoluto

Una función tiene su máximo absoluto en el x = a si la ordenada es mayor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

Mínimo absoluto

Una función tiene su mínimo absoluto en el x = b si la ordenada es menor o igual que en cualquier otro punto del dominio de la función.

a = 0

b = 0

Máximo y mínimo relativo

Una función f tiene un máximo relativo en el punto a, si f(a) es mayor o igual que los puntos próximos al punto a.

Una función f tiene un mínimo relativo en el punto b, si f(b) es menor o igual que los puntos próximos al punto b.

Derivación Implícita

La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación:

x y = 1.

Si queremos hallar la derivada

para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente:

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación.

El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método.

Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x²- 2y³+ 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual.

Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

dy/dx con derivadas parciales

Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:

donde

, representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x, y

, representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.

Derivada direccional y vector gradiente.

Se llaman derivadas direccional de la función z = f(x,y) en un punto P(x,y) en el sentido del vector el siguiente límite si existe y es finito:

Para calcular este límite se toma el vector unitario de la dirección del vector (dividiéndolo por su módulo).

Llamamos t a la longitud del vector , es decir,con lo cual , de donde , y el límite se reduce a la única variable t

Si la función f(x, y) es diferenciable, entonces la derivada direccional se calcula por la fórmula:

(es decir la suma de los productos de las parciales por las componentes del vector unitario)

Si la función es de tres variables z=f(x, y, z) la derivada direccional se calcula de manera análoga:

Se llama gradiente de una función z = f(x, y) en un punto P(x, y) al vector que sale del punto P y sus componentes son las derivadas parciales de la función en dicho punto

La derivada direccional se puede obtener como el producto escalar del gradiente por el vector unitario (si la función es diferenciable)

Si la función es de tres variables u = f(x, y, z) el gradiente se define de forma análoga:

martes, 8 de abril de 2014

Límites y Problemas

Límites
http://www.slideshare.net/zq0/limites-en-las-funciones-vectoriales
http://www.matap.uma.es/~garvin/05Ca11/node3.html
http://www.vitutor.com/fun/3/a_1.html
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/1_limites_basicos/1_4limite_funcion/
Propiedades
http://www.vitutor.com/fun/3/a_5.html
Ejercicios
http://www.vitutor.com/fun/3/a_7.html

Para resolver límites en calculo vectorial hay q tener muy en cuenta q si no se sabe las definiciones ya establesidas de q es un limite y como se calculo aveces el entendimiento no es tan correcto; así pues:
La definición de límite es análoga a la del caso real y la generaliza. Dada una función vectorial, $f\colon I\to \mathbb{R}^m$ , $a\in I\subset \mathbb{R}$ un punto de acumulación (es decir, que hay puntos del dominio tan cerca de

como queramos), y $v\in\mathbb{R}^m$ , decimos que

es el límite de

cuando

tiende a

, $\lim_{t\to a}f(t)=v$ , si ocurre que

$\begin{displaymath}\forall \epsilon >0, \exists \delta >0\mbox{ tal que } \mid \mid f(t)-v \mid \mid <\epsilon\mbox{ si }0< \mid t-a \mid <\delta\end{displaymath}$

Como la norma en el caso $\mathbb{R}^m=\mathbb{R}$ coincide con el valor absoluto, esta definición generaliza a la que conocemos de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ .