calculo vectorial: RESUMEN 2

Triedro Móvil

Dada una curva suficientemente suave (diferenciable y de clase $C^2(\Iota)\,$ ), en $\mathbb{R}^3$ y dado su vector de posición $\mathbf r(t)$ expresado mediante el parámetro t;

$\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf i+y(t)\mathbf j+z(t)\mathbf k \qquad t \in [a,b] \,$

Como podemos ver en la imagen el Plano Normal es perpendicular al Vector Tangente, el Plano Rectificante es perpendicular al Vector Normal Principal y el Plano Osculador es normal al Vector Binormal. Sus expresiones son:

Plano Normal

(X−r(t))∗T=0

Plano Rectificante

(X−r(t))∗N=0

Plano Osculador

(X−r(t))∗B=0

*Nota. En todas estas expresiones X, es un vector (x,y,z) cualquiera.

Longuitud de Arco

Vectores tangente, normal y binormal

$\mathbf{T}(t)=\mathbf{N}(t)\times \mathbf{B}(t)$ o bien $\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|}$

$\mathbf{B}(t)=\mathbf{T}(t)\times \mathbf{N}(t)$ o bien $\mathbf{B}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|}$

$\mathbf{N}(t)=\mathbf{B}(t)\times \mathbf{T}(t)$ o bien $\mathbf{N}(t)=\frac{[\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)]\times \mathbf{r}'(t)}{\left \Vert [\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)]\times \mathbf{r}'(t) \right \|}$

Si la curva está parametrizada según la longitud de arco, como se explicó en la sección anterior las fórmulas anteriores pueden simplificarse notablemente:

$\mathbf{T}(s) = \frac{d\tilde{\mathbf{r}}(s)}{ds} \qquad \mathbf{N}(s) = \frac{1}{\chi}\frac{d\mathbf{T}(s)}{ds} \qquad \mathbf{B}(s) = \frac{1}{\tau}\left( \frac{d\mathbf{N}(s)}{ds}+\chi\mathbf{T}\right)$

Donde los parámetros χ y τ anteriores designan respectivamente a la curvatura y a la torsión.

Curvatura y torsión

La curvatura es una medida del cambio de dirección del vector tangente a una curva, cuanto más rápido cambia éste a medida que nos desplazamos a lo largo de la curva, se dice que es más grande la curvatura. Para una curva parametrizada cualquiera la curvatura es igual a:

$\chi(t) = \frac{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t) \right \|}{\left \Vert \mathbf{r}'(t) \right \|^3}$

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce simplemente a:

$\chi(s) = \left \Vert \mathbf{\tilde{r}}''(s) \right \|$

Además de la curvatura se suele definir el llamado radio de curvatura, como el inverso de la curvatura.

La torsión es una medida del cambio de dirección del vector binormal: cuanto más rápido cambia, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida aparece la curva. Por lo tanto, para una curva totalmente contenida en el plano la torsión es nula ya que el vector binormal es constantemente perpendicular al plano que la contiene. Para el caso general la torsión viene dada por:

$\tau(t) = \frac{\mathbf{r}'(t) \cdot \left (\mathbf{r}''(t) \times \mathbf{r}'''(t) \right )}{\left \Vert \mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t) \right \|^2}$

Si la curva está parametrizada por el parámetro de longitud de arco, la anterior ecuación se reduce a:

$\tau(s) = \frac{\mathbf{\tilde{r}}'(s) \cdot \left (\mathbf{\tilde{r}}''(s) \times \mathbf{\tilde{r}}'''(s) \right )}{\left \Vert \mathbf{\tilde{r}}''(s) \right \|^2}$

Superficies en $\mathbb{R}^3$

Si al igualar la ecuación implícita de nuestra superficie a cero nos queda algo como $f(x,y,z)=0$ Esos tres valores los meteremos en cada representación y comencemos con la descripción y representación de estas superficies en $\mathbb{R}^3$ .

Esfera

La ecuación implícita de la esfera centrada en $(0,0,0)$ y radio $r$ es:

$x^2+y^2+z^2=r^2$

La representación que vemos a la derecha corresponde a la esfera de centro $(0,0,0)$ y radio $1$ .

Elipsoide

La ecuación implícita del elipsoide centrado en $(0,0,0)$ de semiejes $(a,b,c)$ es:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}+\cfrac{z^2}{c^2}=1$

Sí, siempre un $1$ en la parte derecha.
La representación que vemos a la derecha corresponde al elipsoide de centro $(0,0,0)$ y semiejes $(2,1,3)$ .

Cilindro elíptico

La ecuación implícita del cilindro de sección circular centrado en $(0,0,z)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2=r^2$

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de la circunferencia de centro $(0,0)$ y radio $r$ en $\mathbb{R}^2$ . Colocando circunferencias con ese centro y ese radio a lo largo del eje $z$ construimos el cilindro de sección circular. Para construir un cilindro elíptico simplemente utilizamos la ecuación de una elipse:

$\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1$

La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro de sección circular de centro $(0,0,0)$ y radio $2$ a lo largo del eje $z$ (con $z$ entre $-3$ y $3$ ). En Mathematica ejecutamos la siguiente orden para que nos la represente:

Cilindro hiperbólico

La ecuación implícita del cilindro hiperbólico centrado en $(0,0,z)$ y de radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2-y^2=r^2$

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una hipérbola de centro $(0,0)$ y radio $r$ en $\mathbb{R}^2$ . Colocando hipérbolas con ese centro y ese radio a lo largo del eje $z$ construimos el cilindro hiperbólico.
La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro hiperbólico de centro $(0,0,z)$ y radio $3$ a lo largo del eje $z$ (con $z$ entre $-3$ y $3$ ).

Cilindro parabólico

La ecuación implícita del cilindro parabólico de vértice $(0,0,z)$ a lo largo del eje $z$ es:

$y=x^2$

Como podréis ver esa ecuación es la ecuación de una parábola de vértice $(0,0)$ en $\mathbb{R}^2$ . Colocando parábolas con ese vértice a lo largo del eje $z$ construimos el cilindro parabólico.
La representación que vemos a la derecha corresponde al cilindro parabólico de vértice $(0,0,z)$ a lo largo del eje $z$ (con $z$ entre $-2$ y $2$ ).
Cono

Cono

La ecuación implícita del cono de vértice $(0,0,0)$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2-z^2=0$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese cono.

Paraboloide elíptico

La ecuación implícita del paraboloide de sección circular de vértice $(0,0,0)$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2-z=0$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide.

Paraboloide hiperbólico

La ecuación implícita del paraboloide hiperbólico de vértice $(0,0,0)$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2-y^2-z=0$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese paraboloide (la famosa silla de montar).

Hiperboloide de una hoja

La ecuación implícita del hiperboloide de una hoja de vértice $(0,0,0)$ y radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$x^2+y^2-z^2=r^2$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese hiperboloide de una hoja.

Hiperboloide de dos hojas

La ecuación implícita del hiperboloide de dos hojas de vértice $(0,0,0)$ y radio $r$ a lo largo del eje $z$ es:

$-x^2-y^2+z^2=r^2$

La representación que vemos a la derecha corresponde a ese hiperboloide de dos hojas.

Función de varias variables

Una función de dos o mas variables es una regla de correspondencia que asigna a cada pareja de números reales (x, y,w) y sólo un número real z.

El conjunto de parejas ordenadas para las cuales la regla de correspondencia dá un número real se llama dominio de la función.

El conjunto de valores z y w que corresponden a los pares ordenados se llama imagen o contradominio.Una función de dos o mas variables se denota usualmente con la notación:.

z = f (x, y) w= f (x, y,z)

Líneas o curvas de nivel

Si tenemos una función de dos variables dada por z = f (x, y), entonces la gráfica de la ecuación f (x, y) = constante = c es el conjunto de puntos con coordenadas (x, y, c).

Todos estos puntos tienen el mismo valor para la coordenada z, es decir, z = c.

Por lo tanto todos esos puntos están a la misma altura sobre el plano xy, o sea que están "al mismo nivel" sobre el plano xoy.

Coordenadas cartessianas en el espacio

En el espacio existen tres ejes , un eje vertical y dos horizontals ,considerando al plano xoy como horizontal y z como vertical . Dichos ejes tienen secciones positivas y negativas por lo regular unicamente utilizamos las positivamente orienadas , en los cuales al ver hacia abajo el eje z se observa el plano xoy . Se especifica un punto en el espcio mediante coordenadas (x,y,z) con respecto a los ejes:

Primero comenzamos en el origen , avanzamos por unidades en el eje de las x , paralelamente avanzamos y unidades en el eje y , finalmente z unidad paralela al eje z , las coordenadas pueden ser positivas , cero o negativas.

Sabemos que una superficie que representa una o mas funciones de dos o mas variables da una idea de como se comporta dicha funcion ; pero sin embargo es mas dificil de leer valores de una superficie y mas complicado entender el comportamiento global de la funcion solo observando la superficie .

Dichos niveles de curva presentan la ventaja de proporcionarnos hasta una tercera dimension y lograr esta no es muy dificl .

Una vez que uno tiene una grafica ya sea en 3D o en un plano se debe de rotar hasta llegar al fin de esta, donde la vista desde arriba se observaran unicamente capas , esto hace mencion a que se separa las capas mayores de las menores debido a la ubicacion en el palno y su elevacion .

calculo vectorial

martes, 1 de abril de 2014

RESUMEN 2